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高中數學知識點:角平分線交點

高中數學知識點:角平分線交點

作者:網編整理 來源:101教育 發布時間:2020-11-17

  三角形三條內角平分線的交點叫三角形的內心。即內切圓的圓心。內心是三角形角平分線交點的原理:經圓外一點作圓的兩條切線,這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角(通過全等易證明)。

  內心定理:三角形的三個內角的角平分線交于一點,該點叫做三角形的內心。內心到三邊的距離相等。

  注意到內心到三邊距離相等(為內切圓半徑),內心定理其實極易證。

  若三邊分別為l1,l2,l3,周長為p,則內心的坐標為(l1/p,l2/p,l3/p)。

  直角三角形的內心到三邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。

  雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。

  性質

  設△ABC的內切圓為☉O(半徑r),角A、B、C的對邊分別為a、b、c,p=(a+b+c)/2,三角形內心為I

  1、三角形的三個角平分線交于一點,該點即為三角形的內心。

  2、三角形的內心與三角形位置關系:現有AI交BC于點D;BI交CA于點E;CI交AB于點F,三角形內接圓分別交BC,CA,AB于X,Y,Z。

  (i)IX:IY:OZ=1:1:1

  (ii)BD:DC=b:c;CE:EA=c:a;AF:FB=a:b

  (iii)BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)

  (iv)AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))

  (v)△IBC,△ICA,△IAB面積比為a:b:c

  3、r=S/p。

  4、△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2。

  5、∠BOC=90°+∠A/2。

  6、點O是平面ABC上任意一點,點O是△ABC內心的充要條件是:

  a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

責任編輯:李遠航

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